El blog de Carlos

viernes, 21 de enero de 2022

Paris

París...había sido uno de mis destinos pendientes de mis recorridos por Europa...fue un viaje rápido, pero bastante completo, aquí va mi historia:

Primer día: EL LOUVRE, con su muestra magnífica de arte; su completa sección egipcia; pinturas impresionistas, y colección de clásicos desde la Gioconda, hasta obras de Rembrandt, Caravaggio, Rafael, Rubens entre otros, incluyendo Goya. Después, un paseo por el Jardín de las Tullerías pasando por el Arco del Triunfo del Carrusel hasta llegar a Plaza de la Concordia.

A continuación, un pequeño recorrido por Campos Elíseos, y de nuevo en Plaza de la Concordia, tomamos la Rue Royal que te encamina hacia la iglesia neo-clásica La Madeleine. Esta última es más imponente a mi juicio por fuera que por dentro; su frontis nos evoca al Parthenón griego. Después, la Ópera de París terminando este triángulo cultural en Plaza Vendome (Este recorrido de Madeleine-Ópera-Plaza Vendome es como un triángulo).

Segundo día: El Arco del triunfo; me decepcionó un poco, me parece que es más emblemático que bello. Después, la Torre Eiffel!!!...Las vistas desde la torre Eiffel son impresionantes, es casi lo mejor de París....después, vale la pena visitar el domo de los Inválidos, acá está la tumba de Napoleón.

Por la tarde un paseo genial por El Panteón, y luego encaminándonos sobre la Rue Soufflot, llegas al Espectacular sitio: Jardines de Luxemburgo. Esta zona es la más bella de París a mi juicio!!!!....es lo más acogedor, elegante, no extremadamente masivo como otros sitios....y la plaza empedrada (estilo adoquinado antigua) del Panteón es inolvidable!!!

Finalmente, un paseo por Place de la Bastille (Plaza de la Bastilla). Esta plaza me pareció sombría y de poco atractivo.

Tercer día: Notre Dame y la ile de la Cité...Notre Dame es una iglesia gótica impresionante, de grandes proporciones y más hermosa en su interior que por fuera; es la única iglesia de París que me sorprendió!!... Cerca está la Saint Chapelle, más allá La Conciergerie, el antiguo palacio que fue residencia de los reyes de Francia hasta el siglo XIV, donde fue recluida María Antonieta previo a su muerte; después, saliendo de la ile de la cité pasas por la torre de Saint Jacques hasta llegar al Hotel de Ville, hoy sede de la municipalidad de París, que es un eficicio que destaca en belleza....monumental!

Por la tarde Mont-martre. Por cierto me esperaba más de este barrio...lo que es impresionante es Sacre-Cour o iglesia del Sagrado Corazón, aunque es más hermoso su frontis que su interior, su frontis nos recuerda un poco a la Arquitectura bizantina imperial....Recuerdo luego el Boulevard de Rochechouart con sus tiendas alegóricas de sexo, un contraste interesante en París. Acá muy cerca está Moulin Rouge...

Cuarto día: Mi paseo completo por Versalles, su palacio y los extraordinarios jardines....con su música esplendorosa de las 12:00 meridianas....

Por la tarde un paseo genial por el Río Sena en Bateaux Mouche; y un recorrido a pie muy acogedor por Rue de Rennes, calle de tiendas de marca, en otra de las zonas más atractivas de París (Saint Germain) hasta llegar al Boulevard de Saint Germain; pasas por la iglesia Saint Germain des Pres, la iglesia más antigua de París (no me impresionó), y antes por la iglesia Saint Sulpice (la segunda iglesia en extensión de París después de Notre Dame)........ Saint Germain es excelente zona de paseo a pie para terminar tu experiencia en la emblemática y refulgente ciudad de París!

23 lugares en París que todo arquitecto debe visitar | Plataforma Arquitectura

El verbo

El verbo es una palabra que designa una acción: saltar, nadar, jugar, estudiar

El verbo se identifica por su infinitivo: “comer”, “ser”, “escribir”

Los infinitivos de los verbos pueden terminar en “-ar”, “-er”, “-ir”. Cada terminación se llama conjugación:

Los verbos cuyo infinitivo termina en “-ar” (cantar, bailar, saltar…) se denominan verbos de la primera conjugación.
Los verbos cuyo infinitivo termina en “-er” (beber, perder, saber…) se denominan verbos de la segunda conjugación.
Los verbos cuyo infinitivo termina en “-ir” (escribir, morir, vivir…) se denominan verbos de la tercera conjugación.

Pero los verbos tienen además numerosas formas verbales:

Las formas verbales dependen de la persona (1ª, 2ª y 3ª) y del número (singular y plural). También dependen del tiempo, que puede ser presente, pasado, futuro o condicional:

Presente: se refiere a acciones que se están realizando actualmente (Yo como).
Pasado: se refiere a acciones que ya se realizaron (Yo comí / yo comía).
Futuro: se refiere a acciones que se realizarán en el futuro (Yo comeré).
Condicional: se refiere a acciones que su realización depende del cumplimiento de una condición (Yo comería).

Ejemplo: Yo comería (acción) si tuviera dinero (condición)

Las formas verbales también dependen del modo (indicativo, subjuntivo e imperativo), aspecto que analizaremos en la siguiente lección.

Veamos una tabla con formas verbales del verbo “comer” (no son todas, son las formas simples del modo indicativo):

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Al analizar cualquier forma verbal podemos distinguir dos partes: raíz (o lexema) y desinencia.

Volvemos a poner la tabla anterior dejando en negro la raíz y marcando en rojo la desinencia.

Podemos ver que la raíz es siempre la misma en todas las formas verbales ("com-") y coincide con el infinitivo sin la terminación “-ar”, “-er”, “-ir”:

“com – er”.

La raíz nos da el significado del verbo:

“Com-er”: acción de alimentarse.

“Salt-ar”: acción de moverse arriba y abajo.

“Beb-er”: acción de ingerir líquidos.

En cambio la desinencia varía con la persona, con el número, con el tiempo y con el modo, y es precisamente de estos cuatro aspectos de lo que nos informa:

Persona: nos dice si la forma verbal corresponde a la 1ª, a la 2ª o 3ª persona. Yo como / tu comes / él come.
Número: nos dice si la forma verbal es singular o plural. Yo como / nosotros comemos.
Tiempo: nos dice si la forma verbal corresponde al presente, al pasado o al futuro. Yo como / yo comí / yo comeré.
Modo: nos dice si la forma verbal corresponde al indicativo, al subjuntivo o al imperativo (lo veremos en la próxima lección).

Ejemplos:

“Com-íamos”: corresponde a la primera persona del plural, del pretérito imperfecto (pasado), del modo indicativo.

“Com-erás”: corresponde a la segunda persona del singular, del futuro imperfecto, del modo indicativo.

“Com-erían”: corresponde a la tercera persona del plural, del condicional, del modo indicativo.

En la oración el verbo tiene que concordar con el sujeto en persona y en número:

Ejemplos:

Yo como un bocadillo (desinencia: primera persona del singular = que el sujeto).

Vosotros coméis un bocadillo (desinencia: segunda persona del plural = que el sujeto).

Los verbos tienen también formas impersonales (no se conjugan):

------- oo O oo -------

Integrales

ero

La integral de cero es igual a la constante $C$ .

${ \int 0 dx = C }$

Integral de una potencia

La integral de una potencia es igual a la variable elevada a la potencia $n+1$ sobre $n+1$ sumando una constante.

$\displaystyle { \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad\quad n\neq -1}$

$\displaystyle { \int u^n \cdot u^{'} du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \qquad\quad n\neq -1}$

Ejemplos de integrales

1 ${ \int 7 dx }$

${ \int 7 dx = 7x + C }$

2 ${ \int x^6 dx }$

$\displaystyle { \int x^6 dx = \frac{x^{6+1}}{6+1} + C = \frac{x^7}{7} + C }$

3 ${ \int 7 x^3 dx }$

$\displaystyle { \int 7 x^3 dx = \frac{7 x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{7 x^4}{4} + C }$

4 $\displaystyle { \int x^{\frac{2}{3}} dx }$

$\displaystyle { \int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{3 \sqrt[3]{x^5}}{5} + C = \frac{3 \sqrt[3]{x^3\cdot x^2}}{5} + C = \frac{3 x\cdot \sqrt[3]{x^2}}{5} + C}$

5 $\displaystyle { \int \frac{3}{x^4} dx }$

$\displaystyle { \int \frac{3}{x^4} dx = \int 3x^{-4} dx = \frac{3x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{3x^{-3}}{-3} + C = -x^{-3} + C = -\frac{1}{x^{3}} + C }$

6 ${ \int \sqrt[3]{x} dx }$

$\displaystyle { \int \sqrt[3]{x} dx = \int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{{\frac{4}{3}}} + C = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C =\frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C }$

7 $\displaystyle { \int \frac{1}{\sqrt[4]{x}} dx }$

$\displaystyle { \int \frac{1}{\sqrt[4]{x}} dx = \int x^{\frac{-1}{4}} dx = \frac{x^{\frac{-1}{4}+1}}{\frac{-1}{4}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4}}} + C = \frac{4}{3}x^{\frac{3}{4}} + C =\frac{4}{3}\sqrt[4]{x^3} + C}$

8 $\displaystyle { \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx }$

$\displaystyle { \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx = \int x^{\frac{-2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{-2}{3}+1}}{\frac{-2}{3}+1}}+ C = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C = 3\sqrt[3]{x} + C }$

9 $\displaystyle { \int \frac{1}{x^2 \sqrt[5]{x^2}} dx }$

$\displaystyle { \int \frac{1}{x^2 \sqrt[5]{x^2}} dx = \int x^{-2} x^{\frac{-2}{5}} dx = \int x^{\frac{-12}{5}} dx = \frac{x^{\frac{-7}{5}}}{\frac{-7}{5}} + C = -\frac{5}{7 \sqrt[5]{x^7}} +C }$

10 ${ \int (x^4 - 6x^2 -2x + 4) dx }$

$\displaystyle { \int (x^4 - 6x^2 -2x + 4) dx = \frac{x^5}{5} - \frac{6x^3}{3} -\frac{2x^2}{2} + 4x + C = \frac{x^5}{5} - 2x^3 - x^2 + 4x + C }$

11 $\displaystyle { \int (3\sqrt{x} + \frac{10}{x^6}) dx }$

$\displaystyle { \int (3\sqrt{x} + \frac{10}{x^6}) dx = \int (3x^{\frac{1}{2}} + 10x^{-6}) dx = \frac{3x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{10 x^{-5}}{5} + C = 2x\sqrt{x} - \frac{2}{x^5} + C }$

12 $\displaystyle { \int (\frac{x^2 + \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}}) dx }$

$\displaystyle { \int (\frac{x^2 + \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}}) dx = \int (\frac{x^2}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}}) dx = \int (x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{6}}) dx = }$

$\displaystyle { = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + \frac{x^{\frac{7}{6}}}{\frac{7}{6}} + C = \frac{2\sqrt{x^5}}{5} + \frac{6\sqrt[6]{x^7}}{7} +C = \frac{2x^2\sqrt{x}}{5} + \frac{6x\sqrt[6]{x}}{7} + C }$

13 $\displaystyle { \int (\sqrt{5x} + \sqrt{\frac{5}{x}}) dx }$

$\displaystyle { \int (\sqrt{5x} + \sqrt{\frac{5}{x}}) dx = \int (\sqrt{5}x^{\frac{1}{2}} +\sqrt{5}x^{\frac{-1}{2}}) dx = \sqrt{5}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \sqrt{5}\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = }$

$\displaystyle { \frac{2\sqrt{5}x\sqrt{x}}{3} + 2\sqrt{5}\sqrt{x} + C = \frac{2x\sqrt{5x}}{3} + 2\sqrt{5x} + C }$

14 $\displaystyle { \int (\frac{3\sqrt{x}- 5\sqrt[3]{x^2}}{2\sqrt[4]{x}}) dx }$

$\displaystyle { \int (\frac{3\sqrt{x}- 5\sqrt[3]{x^2}}{2\sqrt[4]{x}}) dx = \int (\frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt[4]{x}} - \frac{5\sqrt[3]{x^2}}{2\sqrt[4]{x}}) dx = \int (\frac{3}{2}x^{\frac{1}{4}} - \frac{5}{2}x^{\frac{5}{12}}) dx = }$

$\displaystyle { = \frac{3}{2}\frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} - \frac{5}{2}\frac{x^{\frac{17}{12}}}{\frac{17}{12}} + C = \frac{6}{5}\sqrt[4]{x^5} - \frac{30}{17}\sqrt[12]{x^{17}} + C}$

15 ${ \int \sin x \cos x dx }$

$\displaystyle { \int \sin x \cos x dx = \frac{1}{2}\sin^2 x + C }$

16 $\displaystyle { \int \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} dx }$

$\displaystyle { \int \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} dx = 2 \int \sin^2 \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} dx = \frac{2}{3}\sin^{3} (\frac{x}{2}) +C }$

17 ${ \int (\tan^3 x + \tan^5 x) dx }$

$\displaystyle { \int (\tan^3 x + \tan^5 x) dx = \int \tan^3 x (1+ \tan^2 x) dx = \frac{1}{4}\tan^4 x + C }$

18 ${ \int \sec^2 x \sqrt{\tan x} dx }$

$\displaystyle { \int \sec^2 x \sqrt{\tan x} dx = \int \sec^2 x (\tan x)^{\frac{1}{2}} dx = \frac{(\tan x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}\sqrt{\tan^3 x} +C }$

19 ${ \int \cot x \sqrt{In \sin x} dx }$

$\displaystyle { \int \cot x \sqrt{In \sin x} dx = \int\cot x (In \sin x)^{\frac{1}{2}} dx = \frac{(In \sin x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}\sqrt{(In \sin x)^3} + C }$

20 $\displaystyle { \int \frac{\sin 3x}{\sqrt{2 + \cos 3x}} dx }$

$\displaystyle { \int \frac{\sin 3x}{\sqrt{2 + \cos 3x}} dx = -\frac{1}{3} \int (2 + \cos 3x)^{\frac{-1}{2}} \sin 3x (-3) dx = -\frac{2}{3} \sqrt{2+\cos 3x} + C }$

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/integrales-inmediatas.html#tema_integral-de-una-constante